数学奥林匹克高中训练题_ 18考试题库

数学奥林匹克高中训练题_ 18考试试题及答案

1：若一个多项式的系数都是自然数,则称为“自然多项式”.问:共有多少个不同的自然多项式,使得?......
2：设,且.证明:.......
3：设 ,对n≥2有.若对一切正整数,有,则正整数m的最小值为______.......
4：两人作一种游戏:连续旋转一枚硬币若干次,当正(或反)面向上的次数累计达到5次时游戏结束.游戏结束时,如果正面向上的次数累计达到5次,则胜;否则胜.那么,旋转不足9次就决出胜负的概率为______.......
5：设,对,定义.若,则______.......
6：设是直线与双曲线的两个交点,O为坐标原点.若是直角三角形,则_____.......
7：设为复数.则的最大值为______.......
8：在四棱锥中,底面是边长为的正方形,平面,,分别是的中点.则异面直线与所成角的余弦值为______.......
9：设是所在平面上一点,满足.若 ,则 ______.......
10：设A=，,集合是的子集,但不是的子集.则所有这样的集合的个数为______.......
11：21世纪城的街道都是东西向和南北向,为了加强安全管理,在一些十字路口设置保安亭(任何两个保安亭都不在同一街道上),以两个保安亭为其两个顶点、街道为边围成的矩形称为一个安全区,安全区(包括边界)内保安亭.........
12：对给定的正整数,如果存在整数,使.求所有的正偶数.......
13：设是定义在自然数集合上并在上取值的函数,满足:对任何两个不相等的自然数,有. (1)求; (2)假设是100个两两不相等的自然数,求; (3)是否存在符合题设条件的函数,使,证明你的结论.......
14：凸四边形的对角线交于点,两对边交于点. 求证:这四个三角形的外接圆共点.......
15：设.若对一切,有,且的最大值为1,求动点P(b、c)的轨迹.......

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