数学奥林匹克高中训练题_9考试题库

数学奥林匹克高中训练题_9考试试题及答案

1：以长方体的6条面对角线为棱，可以构成两个四面体，.若两个四面体合起来共占的体积为1（重合部分只计算一次），则长方体的体积为______.......
2：设，.则______.......
3：已知函数在处取得极值10.则实数对为______.......
4：已知二次函数通过点、.若存在整数，使，则与的关系为（）. A. B. C. D. 不能确定，与的具体取值有关......
5：以、、为顶点的三角形与圆没有公共点.则半径的取值范围为（）. A. B. C. D.......
6：已知为非零的不共线的向量，设条件；条件：对一切，不等式恒成立．则是的（） A. 必要而不充分条件 B. 充分而不必要条件 C. 充分而且必要条件 D. 既不充分又不必要条件......
7：已知数列，，，，的各项均不等于0和1，其和满足.则满足条件的数列共有（）个. A. 2 B. 6 C. 8 D. 16......
8：在三棱锥中，，，.则为（）. A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定，与三棱锥的形状有关......
9：对集合：，.则、的关系为（）. A. B. C. D. 不能确定，与的符号有关......
10：全体非负整数0，1，2，…，按其自然顺序组成一个小数 456 789 101 112 131 415 161 718 19 ….问：是否为无理数？证明你的结论.......
11：已知，. （1）求证：；（2）证明：若点在指数函数的图像上，则对同一个，点也在对数函数的图像上.......
12：在等边内任取一点，使，联结、、，记，，. （1）证明：以、、为边可以组成一个钝角三角形，记作；（2）在中，作边上的高，证明：.......
13：过直线上的点作椭圆的切线，切点分别为，联结．（1）当点在直线上运动时，证明：直线恒过定点；（2）当时，定点平分线段．......
14：已知、、是互不相等的复数，满足，.求证：.......
15：平行六面体中，底面为菱形（但不是正方形）.请给出平面的一个充分条件，并作出证明.......
16：将正方体的每一个侧面都用两个具有公共斜边的全等等腰直角三角形贴上，其中，一个三角形是红色的，另一个三角形是黄色的.若正方体的每一个顶点处的红色内角之和均等于黄色内角之和，且已知等腰为红色，则红色三角形.........
17：将8128的全体正约数从小到大排列成，，，，则______.......
18：有7名运动员分别获得某项比赛的一、二、三等奖，已知一等奖的人数不少于1人，二等奖的人数不少于2人，三等奖的人数不少于3人.则恰有2人获一等奖的概率为______.......

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