数学奥林匹克高中训练题(131)考试题库

数学奥林匹克高中训练题(131)考试试题及答案

1：一名摄影师在一次聚会中给八个人拍了一些照片，任意两个人(有28种可能的组合)恰出现在一张照片上，每张照片可以是两人合影，也可以是三人合影。则摄影师至少要拍_________张照片。......
2：设，其中，。则____________。......
3：已知可以表示成个连续整数的乘积则_________。......
4：对正整数k，方程的整数解组有_____个。......
5：设表示不超过实数x的最大整数。则的值为_____（共有2009个根号)。......
6：已知正整数n满足的末两位数构成一个二位的质数。则不超过2010的所有满足条件的n之和为____________。......
7：从1~2010中选出总和为1006779的1005个数，且这1005个数中任意两数之和都不等于2011. （1）证明: 为定值; （2）当取最小值时，求中所有小于1005的数之和。......
8：已知，记为正整数a的各位数字之和。试求正整数t的最小值，使得在任意t个连续的正整数中总能找到一个数c，满足。......
9：如图，有三种类型的纸片(可翻转)。证明:（1）当时，的纸板不能分割成若干个I型、II型的纸片; （2）当n为大于2的偶数时，的纸板可以分割成若干个II型、III型的纸片。......
10：设锐角△ABC的外接圆上的任意一点P所对应的西姆松线为，P的对径点为，与的交点为。证明:对上两点P、Q，当且仅当时，关于点N对称，其中，N为△ABC的九点圆的圆心。......
11：在直角坐标系中，有三只青蛙A、B、C，其起始位置分别为，首先，A以B为中心跳到其对称点上，然后，B以C为中心跳到其对称点上，接着，C以A为中心跳到其对称点上，……依此类推。设A、B、C第n次跳到的位置.........
12：已知的非空子集，满足其元素之和为5的倍数。求上述子集的个数。......
13：已知抛物线上的动点P，及焦点。求的内切圆半径r的最大值。......
14：如图，给定由个点组成的正三角形点阵。在其中任意取三个点，以这三点为顶点构成的正三角形的概率为__________。......
15：一个半径为r的小球与一个半径为R的大球在一个内壁棱长为l的正四面体容器内向各个方向自由运动。若，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是_________。......

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