数学奥林匹克高中训练题(129)考试题库

数学奥林匹克高中训练题(129)考试试题及答案

1：函数的值域是______.......
2：如果一个四面体的六条棱长均等于2的方幂，则在该四面体中，各棱的长度至多有______个取值.......
3：已知是椭圆上一点.则的最小值等于______.......
4：设是定义在上的奇函数，当时，且.则不等式的解集是______.......
5：已知是严格递增的正整数数列，且对任意正整数、，（表示整数和的最大公约数）.若存在一个最小的正整数，使得存在整数和，满足.求证：，.......
6：给定正整数，对于正整数，集合.集族满足如下条件：（1）的每个集合都是的元子集；（2）中的任意两个集合至多有一个公共元素；（3）的任意一个元素恰出现在中的两个集合中. 试求的最大值.......
7：如图，的三条垂线、、交于点，是内的任意一点.求证：、、的外心、、三点共线.......
8：离心率的椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上.过点的斜率为的直线与椭圆交于点、，且满足. （1）固定，当的面积取得最大值时，求椭圆的方程；（2）若变化，且，试问：实数和分别为何值时，椭圆的长轴长取得最大.........
9：设、、、为实数，称为数表，并将、、、称为数表中的元素.如果、、、各不相同，则称该数表为“好数表”.若将每个元素都等于、0或1的数表所组成的集合记为，自中任取一个数表，求其为好数表的概率.......
10：已知数列满足，且对所有正整数有.求证：存在正整数，使得.......
11：平面区域的面积等于______.......
12：在中，，.沿向量的方向，点将线段分成了等份.设，.则______.......
13：若、是同一个正整数的方幂，则的所有可能值是______.......
14：平面上有相异的11个点，每两点连成一条直线，共得48条不同的直线.则这11个点可构成不同的三角形的个数是______.......
15：在锐角中，求证：（1），并指出等号成立的条件；（2），并说明不等号右边的常数是最佳的.......

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