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数学奥林匹克高中训练题_197考试试题及答案
1：
用表示不超过实数的最大整 数，令.则满足的所有自然数的平方和为______.......
2：
已知、、，，满足，则______.......
3：
在四面体中，已知，，，且（.则的取值范围是______.......
4：
称（）的一个全排列为“好排列”：满足存在唯一的，使得.若好排列的个数为，则______.......
5：
在内，的最大值为______.......
6：
已知直线：与抛物线:（）交于、两点，过、的圆与抛物线交于另外两个不同的点、.则直线的倾斜角的余弦值为______.......
7：
设，.若，则的取值范围是______.......
8：
设、、为集合的任意三个元子集，且，.问：是否存在，，，使得其中某两个数的和等于第三个数？......
9：
设、、为有理数，且与为相等的整数.证明:存在整数、，满足，其中，.......
10：
设.求最大的实数，使得对任意满足的实数（）有.......
11：
如图，为锐角的 垂心，点、分别在边、上，，直线与的延长线交于点，直线与的延长线交于点，为的外心.证明： （1）； （2）若，点与在直线的同侧，且、、三点共线，则为正三角形.......
12：
设、为任意三角形的两个内角.若存在、，使得不等式成立，求实数的取值范围.......
13：
已知曲线是以原点为中心、和分别为左和右焦点的椭圆，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线，为曲线与的交点，且为钝角，，，过点作一条与轴不垂直的直线，分别与曲线、依次交于、、、四点，其中，点、在曲线上，点、在曲.........
14：
在正项数列中，，其前项和满足.令.证明：对于任意的，均有.......
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