数学奥林匹克高中训练题_222考试题库

数学奥林匹克高中训练题_222考试试题及答案

1：已知抛物线,其焦点为F,一条过焦点F、倾斜角为的直线与抛物线交于A、B两点,AO(O为坐标原点)与准线交于点与准线交于点A则四边形的面积为______.......
2：已知,至少有一个正数b,使得的定义域和值域相同则满足条件的实数a的值为______.......
3：已知方程的2017个根为1,·则______.......
4：若数字满足且,则九位正整数为一个“九位峰数”,例如134698752.那么,所有的九位峰数的个数为______.......
5：函数的最大值为______,......
6：一个盒中有12件正品和3件次品,每次不放回地取出一件产品,在取得正品前已取出的次品数的数学期望______.......
7：用表示实数的小数部分.已知.则______.......
8：已知集合为平面内的一个有限点集, 为平面内的一个正三角形,集合,且.若对任意满足条件的集合S,均可以被正三角形的两个平移图形覆盖,证明:集合可以被正三角形的两个平移图形覆盖.......
9：如图,的内切圆与边AB、BC切于D、E两点,DI与的另一个交点为与交于点G,点H在线段上,且.证明:若A、H、E三点共线,则.......
10：已知n为正整数证明:不存在模8余7的素因子......
11：定义数列:，证明:对每一个正整数均有......
12：如图,已知直线与抛物线和圆均相切,F为抛物线的焦点. (1)设为抛物线上的一动点,以为切点作抛物线的切线,与轴交于点,以为邻边作,证明:点在一条定直线上; (2)在(1)的条件下,记点所在的定直线为,.........
13：已知集合,集合为S的子集,满足:(1);(2)，求k的最大值......
14：已知数列的通项公式为，记求所有的正整数n,使得.......
15：对一个边长互不相等的凸2017边形的边染色,每条边可以染红、黄、蓝、紫四种颜色中的一种,但不允许相邻的边同色则共有______种不同的染色方法......

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