数学奥林匹克高中训练题_207考试题库

数学奥林匹克高中训练题_207考试试题及答案

1：如图，在矩形中，，，点在线段上，且．现分别沿、将、翻折，使得点落在线段上．此时，二面角的余弦值为______．......
2：满足为实数的有序整数对的个数为______．......
3：已知是半径为2的的一条直径，与内切于点，与内切、与外切，且与切于点．若的半径是半径的3倍，则的半径为______．......
4：如图，为的内切圆，切点依次为、、，于点，于点，于点，证明：．......
5：设为个不同的大于1的完全平方数，证明：．......
6：已知为方程（）的实根，证明：（1）数列单调递增；（2）．......
7：已知、分别为轴、轴上的动点，，，．（1）求动点的轨迹；（2）已知（，）为轨迹外一动点，，、分别与曲线切于点、，直线、分别与直线交于点、，证明：以为直径的圆过定点．......
8：求集合中所有元素的和．......
9：记（为素数，）为“好数”．若在进制下，100与23的差为好数，则的所有可能取值为______．......
10：设、分别为椭圆（）的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，，且，直线与椭圆交于、两点，、为椭圆上异于、的两点，且直线与交于点，直线与交于点．则直线的斜率为______．......
11：已知、为非零的不共线的向量．设．定义集．当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为______．......
12：记表示不超过实数的最大整数．已知数列满足，（）．则______．......
13：从中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，共有______种取法．......
14：将正整数1，2，…，10填于正五角星的十个顶点处，使得每条直线上所填四个数之和相等，问：这种填数方案是否存在?若存在，请给出填数方案的个数（经过旋转或对称之后能重合的方案视为同一种方案）；若不存在，请.........
15：试确定不定方程①的所有正整数解．......

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