题目内容：

（2014•随州）已知两条平行线l₁、l₂之间的距离为6，截线CD分别交l₁、l₂于C、D两点，一直角的顶点P在线段CD上运动（点P不与点C、D重合），直角的两边分别交l₁、l₂于A、B两点．
（1）操作发现
如图1，过点P作直线l₃∥l₁，作PE⊥l₁，点E是垂足，过点B作BF⊥l₃，点F是垂足．此时，小明认为△PEA∽△PFB，你同意吗？为什么？
（2）猜想论证
将直角∠APB从图1的位置开始，绕点P顺时针旋转，在这一过程中，试观察、猜想：当AE满足什么条件时，以点P、A、B为顶点的三角形是等腰三角形？在图2中画出图形，证明你的猜想．
（3）延伸探究
在（2）的条件下，当截线CD与直线l₁所夹的钝角为150°时，设CP=x，试探究：是否存在实数x，使△PAB的边AB的长为4

5

？请说明理由．

优质解答

（1）如图（1），由题意，得：∠EPA+∠APF=90°，∠FPB+∠APF=90°，∴∠EPA=∠FPB，又∵∠PEA=∠PFB=90°，∴△PEA∽△PFB；（2）证明：如图2，∵∠APB=90°，∴要使△PAB为等腰三角形，只能是PA=PB，当AE=BF时，PA...