王老师
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南开大学的“抽象代数”课,讲授群、环、域、模四种代数体系.这些代数体系对学生而言,都比较抽象,不好理解.例如“群”这种代数体系,如果按照“定义－例－性质－定理”的通常模式去讲授,学生往往只记住一些词汇,难以掌握实质.因为那样讲定义,只说“群是一个带有运算的集合,该运算满足结合律,有幺元,任一元有逆元”,而对于为什么其中要有运算,为什么该运算要满足结合律,为什么要有幺元,为什么任一元要有逆元,学生都不清楚,只能死记.其实,“群”有丰富的实际背景.许多数学家说“对称即群”.近年我们改进了教学方法,讲“群的定义”时,按照“客观世界中的对称－对称变换群的定义－抽象群的定义”的顺序来讲解,效果很好.首先,从感性认识中的大量“对称”说起,再上升为理性认识,给出“对称的数学描述”；再就学生相对熟习的“平面图形的对称”,来尝试对其进行数学描述；再用运动的观点看“对称”,抓住“变中有不变”作为对称的本质,引出平面图形K的对称集S(K),来描述K的对称性；然后引出任意客观事物N的对称集S(N),来描述N的对称性；再仔细考察由N的对称变换构成的集合S(N),发现它不是一个普通的集合,而是一个带有运算的集合,这个运算就是“对称变换的相继实施”,而且这一运算对S(N)有封闭性、满足结合律,S(N)中有恒等变换,S(N)中每一变换在其中又都有逆变换,S(N)已经构成了一个具体的群,称为“N的对称变换群”；最后再上升到一般的抽象群.
