若对任意θ∈R，不等式cos2θ+2msinθ-2m-2＜0恒成立，求实数m的范围．

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若对任意θ∈R，不等式cos2θ+2msinθ-2m-2＜0恒成立，求实数m的范围．

2022-05-11 12:48:14 32次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

若对任意θ∈R，不等式cos²θ+2msinθ-2m-2＜0恒成立，求实数m的范围．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

设f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，
要使f（θ）＜0对任意的θ总成立，当且仅当函数y=f（θ）的最大值小于零．
f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2=1-sin²θ+2msinθ-2m-2=-（sinθ-m）²+m²-2m-1
∴当-1≤m≤1时，函数的最大值为m²-2m-1＜0，解得1-

＜m≤1；
当m≥1时，函数的最大值为f（1）=-2＜0
∴m≥1时均成立；
当m≤-1时，函数的最大值为f（-1）=-4m-2＜0，m＞-

，矛盾无解．
综上得m的取值范围是m∈（1-

，+∞）

构造函数f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，利用同角三角形函数关系，可将函数的解析式化为f（θ）=-（sinθ-m）²+m²-2m-1的形式，分-1≤m≤1，m≥1，m≤-1三种情况，讨论函数的最大值，最后汇总讨论结果，即可得到答案．

本题考点：函数恒成立问题．

考点点评：本题考查的知识点是三角函数的最值，其中构造函数f（θ）=cos²θ+2msinθ-2m-2，将问题转化为函数恒成立问题是解答本题的关键．

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