王老师
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[编辑本段]定义
公式P是指排列,从N个元素取R个进行排列(即排序).(P是旧用法,现在教材上多用A,Arrangement)
公式C是指组合,从N个元素取R个,不进行排列（即不排序）.
组合数的奇偶性判定方法为:
结论：
对于C(n,k),若n&k == k 则c(n,k)为奇数,否则为偶数.
证明：
利用数学归纳法：
由C(n,k) = C(n,k-1) + C(n-1,k-1);
对应于杨辉三角：
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
………………
可以验证前面几层及k = 0时满足结论,下面证明在C(n-1,k)和C(n-1,k-1) (k > 0) 满足结论的情况下,
C(n,k)满足结论.
1).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为奇数：
则有：(n-1)&k == k;
(n-1)&(k-1) == k-1;
由于k和k-1的最后一位(在这里的位指的是二进制的位,下同)必然是不同的,所以n-1的最后一位必然是1
.
现假设n&k == k.
则同样因为n-1和n的最后一位不同推出k的最后一位是1.
因为n-1的最后一位是1,则n的最后一位是0,所以n&k != k,与假设矛盾.
所以得n&k != k.
2).假设C(n-1,k)和C(n-1,k-1)为偶数：
则有：(n-1)&k != k;
(n-1)&(k-1) != k-1;
现假设n&k == k.
则对于k最后一位为1的情况：
此时n最后一位也为1,所以有(n-1)&(k-1) == k-1,与假设矛盾.
而对于k最后一位为0的情况：
则k的末尾必有一部分形如：10; 代表任意个0.
相应的,n对应的部分为：1{*}*; *代表0或1.
而若n对应的{*}*中只要有一个为1,则(n-1)&k == k成立,所以n对应部分也应该是10.
则相应的,k-1和n-1的末尾部分均为01,所以(n-1)&(k-1) == k-1 成立,与假设矛盾.
所以得n&k != k.
由1)和2)得出当C(n,k)是偶数时,n&k != k.
3).假设C(n-1,k)为奇数而C(n-1,k-1)为偶数：
则有：(n-1)&k == k;
(n-1)&(k-1) != k-1;
显然,k的最后一位只能是0,否则由(n-1)&k == k即可推出(n-1)&(k-1) == k-1.
所以k的末尾必有一部分形如：10;
相应的,n-1的对应部分为：1{*}*;
相应的,k-1的对应部分为：01;
则若要使得(n-1)&(k-1) != k-1 则要求n-1对应的{*}*中至少有一个是0.
所以n的对应部分也就为 ：1{*}*; (不会因为进位变1为0)
所以 n&k = k.
4).假设C(n-1,k)为偶数而C(n-1,k-1)为奇数：
则有：(n-1)&k != k;
(n-1)&(k-1) == k-1;
分两种情况：
当k-1的最后一位为0时:
则k-1的末尾必有一部分形如:10;
相应的,k的对应部分为 :11;
相应的,n-1的对应部分为 :1{*}0; (若为1{*}1,则(n-1)&k == k)
相应的,n的对应部分为 :1{*}1;
所以n&k = k.
当k-1的最后一位为1时:
则k-1的末尾必有一部分形如:01; (前面的0可以是附加上去的)
相应的,k的对应部分为 :10;
相应的,n-1的对应部分为 :01; (若为11,则(n-1)&k == k)
相应的,n的对应部分为 :10;
所以n&k = k.
由3),4)得出当C(n,k)为奇数时,n&k = k.
综上,结论得证!
