等差数列{an}、{bn}的公差都不为零，若limn→∞anbn=3，则limn→∞b1+b2+…bnna4n= ___ ．

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等差数列{an}、{bn}的公差都不为零，若limn→∞anbn=3，则limn→∞b1+b2+…bnna4n= ___ ．

2022-11-12 01:30:27 6次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

等差数列{a_n}、{b_n}的公差都不为零，若
lim
n→∞
an
bn
=3，则
lim
n→∞
b1+b2+…bn
na4n
= ___ ．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

设{a_n}、{b_n}的公差分别为d₁ 和d₂，
则由

lim

n→∞

an

bn

=

lim

n→∞

a1+(n-1)d1

b1+(n-1)d2

=3，∴

d1

d2

=3，d₁=3d₂．
∴

lim

n→∞

b1+b2+…bn

na4n

=

lim

n→∞

nb1+

n(n-1)

2

•d2

n[a1 +(4n-1)•3d2]

=

lim

n→∞

b1+

n-1

2

•d2

a1+(4n-1)•3d2

═

lim

n→∞

b1

n-1

+

d2

2

a1

n-1

+(

4n-1

n-1

) •3d2

=

1

2

d2

12d2

=

1

24

．

由条件求得 d₁=3d₂，要求的式子即

lim

n→∞

nb1+

n(n−1)

2

•d2

n[a1 +(4n−1)•3d2]

，此式就等于n²的系数之比，运算求得结果．

本题考点：数列的极限；等差数列的通项公式．

考点点评：本题考查等差数列的通项公式，数列极限的运算法则的应用，属于中档题．

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