设方阵A满足A2-A-2E=0，证明：A和A+2E均可逆，并求A和A+2E的逆矩阵．

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设方阵A满足A2-A-2E=0，证明：A和A+2E均可逆，并求A和A+2E的逆矩阵．

2022-11-09 19:25:17 19次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设方阵A满足A²-A-2E=0，证明：A和A+2E均可逆，并求A和A+2E的逆矩阵．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

证明：∵方阵A满足A²-A-2E=0，
∴A²-A=2E，
∴A×

A−E

2

=E
所以A可逆，逆矩阵为

A−E

2

，
∵方阵A满足A²-A-2E=0，
∴A²=A+2E，
由A可逆知A²可逆，
所以A+2E可逆，
逆矩阵为[

A−E

2

]²=

(A−E)2

4

由已知可得A×

A−E

2

=E，即所以A可逆，逆矩阵为

A−E

2

，由已知可得A²=A+2E，结合A可逆知A²可逆，可得A+2E可逆，进而得到答案．

本题考点：逆变换与逆矩阵．

考点点评：本题考查逆变换与逆矩阵，本题是一个基础题，解题的关键是记住求你矩阵的方法，

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