设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1，x2∈[0，12]，都有f（x1+x2）=f（x1

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设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x1，x2∈[0，12]，都有f（x1+x2）=f（x1

2022-11-14 07:01:30 13次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称，对任意x₁，x₂∈[0，
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]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），且f（1）=a＞0．
（1）求f（
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）及f（
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）；
（2）证明f（x）是周期函数．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

解；（1）∵f（1）=f（12+12）=f（12）•f（12）=f2（12）=a，∴f（12）=±a又∵f（12）=f（14+14）=f2（14）＞0，∴f（12）=a12同理可得f（14）=a14（2）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）又∵f（x）关于x=1对称...

（1）已知任意x₁，x₂∈[0，

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]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），令x₁=x₂=

1

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，求出f（

1

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），根据

1

2

=

1

4

+

1

4

进行求解；
（2）已知f（x）为偶函数，再根据f（x）关于x=1对称，进行证明；

本题考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的图象；抽象函数及其应用．

考点点评：此题主要考查函数的周期性，此类抽象函数的题，主要利用特殊值法，此题比较简单．

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