设正数x，y满足log2（x+y+3）=log2x+log2y，则x+y的取值范围是 ______．

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设正数x，y满足log2（x+y+3）=log2x+log2y，则x+y的取值范围是 ______．

2022-11-02 16:26:18 13次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设正数x，y满足log₂（x+y+3）=log₂x+log₂y，则x+y的取值范围是 ______．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

∵正数x，y满足log₂（x+y+3）=log₂x+log₂y，
∴log₂（x+y+3）=log₂xy，
∴x+y+3=xy，
又x²-2xy+y²≥0，
所以左右加上4xy得到x²+2xy+y²≥4xy，
所以xy≤

(x+y)2

4

，
由x+y+3=xy得到x+y+3≤

(x+y)2

4

，
设x+y=a即4a+12≤a²，
解得a为（-∞，-2]或[6，+∞）．
根据定义域x，y均大于零所以x+y取值范围是[6，+∞）．
故答案为：[6，+∞）．

由题设知x+y+3=xy，再由x²-2xy+y²≥0，得到x²+2xy+y²≥4xy，所以xy≤

(x+y)2

4

，设x+y=a，由此可求出x+y的取值范围．

本题考点：对数的运算性质．

考点点评：本题考查对数的运算法则，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．

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