设函数f（x）=lg（21−x+a）是奇函数，则f（x）＜0的解集为______．

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设函数f（x）=lg（21−x+a）是奇函数，则f（x）＜0的解集为______．

2022-11-02 19:57:56 12次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设函数f（x）=lg（
2
1−x
+a）是奇函数，则f（x）＜0的解集为______．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

∵f（x）=lg（

2

1−x

+a），∴f（0）=0，∴lg（2+a）=0，∴a=-1．
∴f（x）=lg（

2

1−x

-1），

2

1−x

-1＞0，得

1+x

1−x

＞0，-1＜x＜1，令t=

2

1−x

-1，
设-1＜x₁＜x₂＜1，t1−t2＝

2

1−x1

−

2

1−x2

=

2(x1−x2)

(1−x1)(1−x2)

＜0
∴t₁＜t₂，∴lgt₁＜lgt₂∴f（x₁）＜f（x₂），故y=f（x）在（-1，1）上是单调增函数
又∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，则f（x）＜0化为

1+x

1−x

＜1，

1+x

1−x

−1＝

2x

1−x

＜0，得x＜0，或x＞1，又∵-1＜x＜1，∴-1＜x＜0
故解集为：（-1，0）．

先利用奇偶性求a的值，再判断f（x）的单调性，将f（x）＜0化为具体的不等式

1+x

1−x

＜1即可．

本题考点：函数奇偶性的性质．

考点点评：本题利用奇偶性结合单调性解复合函数不等式，属于中档题型

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