微积分中tanx=(1-cosx)/sinx和tanx=sinx/(1+cosx)有什么区别?怎么用?例如∫dx／（1+√1-x^2）?

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微积分中tanx=(1-cosx)/sinx和tanx=sinx/(1+cosx)有什么区别?怎么用?例如∫dx／（1+√1-x^2）?

2022-11-09 01:58:52 18次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

微积分中tanx=(1-cosx)/sinx和tanx=sinx/(1+cosx)有什么区别?怎么用?例如∫dx／（1+√1-x^2）?

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

你那个不太对噢,应该是
tan(x/2) = sin(x/2)/cos(x/2)
= [2sin(x/2)cos(x/2)]/[2cos²(x/2)]
= sinx/(1 + cosx),答案1
= [sinx(1 - cosx)]/[(1+ cosx)(1 - cosx)]
= [sinx(1 - cosx)]/sin²x
= (1 - cosx)/sinx,答案2
这个方法比较适用于被积函数中含有三角函数的积分
例如∫ dx/(1 + sinx),∫ cosx/(1 + sinx) dx,∫ sin²x/(1 + cosx) dx等等
你那个积分题目不适合用这个方法
应该用第二换元积分法
∫ dx/[1 + √(1 - x²)]
令x = sinz,dx = cosz dz
= ∫ cosz/(1 + cosz) dz
= ∫ [(1 + cosz) - 1]/(1 + cosz) dz
= ∫ dz - ∫ dz/(1 + cosz)
= z - ∫ (1 - cosz)/[(1 + cosz)(1 - cosz)] dz
= z - ∫ (1 - cosz)/sin²z dz
= z - ∫ (csc²z - csczcotz) dz
= z + cotz - cscz + C
= arcsinx + √(1 - x²)/x - 1/x + C
第二换元积分法用于消除有根号,且里面最高次方是二次方的被积函数
对于√(a² - x²),令x = a * sinθ
对于√(a² + x²),令x = a * tanθ
对于√(x² - a²),令x = a * secθ

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