已知数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c(a≠0)，求数列{an}成等差数列的充要条件．

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已知数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c(a≠0)，求数列{an}成等差数列的充要条件．

2022-11-04 12:18:59 6次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知数列{a_n}的前n项和Sn＝an2+bn+c(a≠0)，求数列{a_n}成等差数列的充要条件．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

当n=1时，a₁=a+b+c；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a
由于a≠0，∴当n≥2时，{a_n}是公差为2a等差数列．
要使{a_n}是等差数列，则a₂-a₁=2a，解得c=0．
即{a_n}是等差数列的必要条件是：a≠0，c=0．
充分性：
当a≠0，c=0时，Sn＝an2+bn．
当n=1时，a₁=a+b；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2an+b-a，
显然当n=1时也满足上式，
∴an＝2an+b−a(n∈N*)⇒an−an−1＝2a(n∈N*)
∴{a_n}是等差数列．
综上可知，数列{a_n}是等差数列的充要条件是：a≠0，c=0．

由S_n求a_n的过程可得必要条件是：a≠0，c=0．只需再证明充分性即可，注意n的范围的限制．

本题考点：等差数列的前n项和；等差关系的确定．

考点点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式的特点，涉及充要条件的证明，属基础题．

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已知数列{an}的前n项和Sn＝an2+bn+c(a≠0)，求数列{an}成等差数列的充要条件．

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