若x+2y+3z＝1，则x2+y2+z2的最小值为_____

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若x+2y+3z＝1，则x2+y2+z2的最小值为______．

2022-11-08 05:39:28 20次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

若x+2y+
3
z＝1，则x²+y²+z²的最小值为______．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

根据柯西不等式可得[(12+22+(

)2]（x²+y²+z²）≥(x+2y+

z)2
∵x+2y+

z＝1
∴x²+y²+z²≥

当且仅当x＝

＝

时，x²+y²+z²的最小值为

故答案为：

根据柯西不等式可得[(12+22+(

)2]（x²+y²+z²）≥(x+2y+

z)2，由此可得结论．

本题考点：柯西不等式在函数极值中的应用．

考点点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．一般而言，“积和结构”或“平方和结构”越明显，则构造越容易，而对于“积和结构”或“平方和结构”不够明显的问题，则须将原问题作适当变形，使“积和结构”或“平方和结构”明显化，从而利用柯西不等式进行证明．

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若x+2y+3z＝1，则x2+y2+z2的最小值为______．

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3
z＝1，则x²+y²+z²的最小值为______．

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