讨论函数 f（x）={[（1+x）^(1/x)]/e}^(1/x),x>0 =e^(-1/2),x≤0 在点x=0的连续

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讨论函数 f（x）={[（1+x）^(1/x)]/e}^(1/x),x>0 =e^(-1/2),x≤0 在点x=0的连续

2022-10-28 13:20:53 3次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

讨论函数 f（x）={[（1+x）^(1/x)]/e}^(1/x),x>0 =e^(-1/2),x≤0 在点x=0的连续性

这道题在求limx趋近于0+的时候,为啥不能先把（1+x）^1/x 等价为e呢?这样做为啥不对呢?

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

因为（1+x)^(1/x)在x-->0+ 时
等于e + 无穷小量,而无穷小量的无穷大次幂（1/x是无穷大）是很难界定是否有界的,所以不能够先求解.
这类题目求解得最好方法就是：
（1）指数型A^B转化为exp{BlnA} == exp{lnA/(1/B)}分数型
（2）然后使用洛必达法则,对分子分母同时求导,直到为无穷小都可以忽略.
本题中：
x>0,f(x) = exp{1/x * ln[(1+x)^(1/x)/e]}=exp{[ln(1+x)-x]/x^2}
指数内部是0/0型
洛必达准则,f(0+)= lim exp{[ln(1+x)-x]/x^2} = exp{lim{[ln(1+x)-x]/x^2}}
= exp { lim [1/(1+x)-1]/(2*x)} = e(-0.5)

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看完仍有疑问？有类似问题直接问老师

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