设函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．（1）求a，b的值；（2）求

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设函数f（x）=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．（1）求a，b的值；（2）求

2022-10-29 20:00:41 16次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设函数f（x）=x³-3ax²+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的在区间[-1，4]上的最小值与最大值．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（1）∵f（x）=x³-3ax²+3bx，
∴f′（x）=3x²-6ax+3b，
∵f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），
∴f（1）=-11，f′（1）=-12，
∴1-3a+3b=-11，且3-6a+3b=-12，
解得：a=1，b=-3；
（2）∵a=1，b=-3，
∴f（x）=x³-3a²-9x，
∴f′（x）=3x²-6x+-9=3（x²-2x-3）=3（x+1）（x-3），
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3，
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3，
∴f（x）在（-1，3）是减函数，在（3，4）上单调递增，
∵f（-1）=5，f（3）=-27，f（4）=-20，
∴f（x）的最小值为-27，f（x）的最大值为5，
∴函数f（x）的在区间[-1，4]上的最小值为2，最大值为5．

（1）函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程解．
（2）导函数大于0对应区间是单调递增区间；导函数小于0对应区间是单调递减区间．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：本题考查了考查了导数的几何意义，导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率，解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上．利用导数研究函数在闭区间上的最值，一般是求出导函数对应方程的根，然后求出跟对应的函数值，区间端点的函数值，然后比较大小即可得到函数在闭区间上的最值．对于利用导数研究函数的单调性，注意导数的正负对应着函数的单调性．同时考查了运算求解的能力，属于中档题．

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