已知数列{an}的前n项和为Sn，满足an+Sn=2n．（Ⅰ）证明：数列{an-2}为等比数列，并求出an；（Ⅱ）设bn=（2-n）（an-2），求{bn}的最大项．

2022-10-20 13:25:02 6次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

王老师

回答题目：2621条

（Ⅰ）证明：由a₁+s₁=2a₁=2得a₁=1；
由a_n+S_n=2n得
a_n+1+S_n+1=2（n+1）
两式相减得2a_n+1-a_n=2，即2a_n+1-4=a_n-2，即a_n+1-2=

（a_n-2）
是首项为a₁-2=-1，公比为

的等比数列．故a_n-2=-(

)n−1，故a_n=2-(

)n−1，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn＝(2−n)•(−1)•(

)n−1＝(n−2)•(

)n−1
由bn+1−bn＝

n−1

−

n−2

2n−1

＝

n−1−2n+4

＝

3−n

≥0得n≤3
由b_n+1-b_n＜0得n＞3，所以b₁＜b₂＜b₃=b₄＞b₅＞…＞b_n
故b_n的最大项为b3＝b4＝

．

（Ⅰ）由题设条件进行变形，整理成等比数列的形式，得证．
（Ⅱ）求出b_n=（2-n）（a_n-2）的通项公式，再作差比较相邻项的大小，即可找出最大项．

本题考点：等比关系的确定．

考点点评：本题考查等比关系的确定以及用作差法求数列的最大项，属于数列中的中档题，有一定的综合性，要求答题者有较好的观察能力及转化化归的能力．

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