用定义证明：函数f（x）=x2+2x-1在（0，1]上是减函数．

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用定义证明：函数f（x）=x2+2x-1在（0，1]上是减函数．

2022-10-19 21:40:02 7次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

用定义证明：函数f（x）=x²+2x^-1在（0，1]上是减函数．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

证明：设x₁＜x₂，且x₁，x₂∈（0，1]，则
f（x₁）-f（x₂）=x₁²+2x₁^-1-2x₂^-1
=（

x

2

1

−

x

2

2

）+2（

1

x1

−

1

x2

）=（x₂-x₁）[

2

x1x2

-（x₁+x₂）]
∵x₁，x₂∈（0，1]，且x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＜2，

2

x1x2

＞2
∴（x₂-x₁）[

2

x1x2

-（x₁+x₂）]＞0
∴f（x₁）＞f（x₂），
所以f（x）=x²+2x^-1在（0，1]上是减函数．

利用定义判断函数的单调性，先设在所给区间上有任意两个自变量x₁，x₂，且x₁＜x₂，再用作差法比较f（x₁）与f（x₂）的大小，做差后，应把差分解为几个因式的乘积的形式，通过判断每一个因式的正负，来判断积的正负，最后的出结论．

本题考点：函数单调性的判断与证明．

考点点评：本题主要考查了定义法证明函数的单调性，做题时应该严格按照步骤去做．属于基础题．

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