已知函数f（x）对任意实数x，y恒有f（x+y）=f（x）+f（y）且当x＞0，f（x）＜0．（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性

2022-10-17 18:05:09 15次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

王老师

回答题目：2621条

解（Ⅰ）函数f（x）为奇函数．…（2分）证明：∵函数f（x）的定义域为R，而在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y为-x，则有f（0）=f（x）+f（-x）…（4分）又将x，y都取0代入得f（0）=0，即：f（-x）=-f（x），又...

（Ⅰ）令x=y=0求得f（0）=0，令y为-x，f（x）+f（-x）=f（0）=0，即可判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）利用单调性的定义即可判断f（x）的单调性，在R上任取x₁，x₂，且令△x=x₁-x₂＞0，可证得△y=f（x₁）-f（x₂）＜0，问题得到解决．

本题考点：抽象函数及其应用；函数奇偶性的判断．

考点点评：本题考查抽象函数及其应用，难点在于△y=f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂+x₂）-f（x₂）的转化，突出考查转化思想与综合应用单调性定义解决问题的能力，属于中档题．

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