设(5x12−x13)n展开式的各项系数的和为M，二项式系数的和为N，M-N=992，则展开式中x2 项的系数为（　　）A. 250B. -250C. 150D. -150

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设(5x12−x13)n展开式的各项系数的和为M，二项式系数的和为N，M-N=992，则展开式中x2 项的系数为（　　）A. 250B. -250C. 150D. -150

2022-10-22 15:32:09 11次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设(5x
1
2
−x
1
3
)n展开式的各项系数的和为M，二项式系数的和为N，M-N=992，则展开式中x² 项的系数为（　　）
A. 250
B. -250
C. 150
D. -150

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

令x=1得M=4ⁿ，又N=2ⁿ，
∵M-N=992，∴4ⁿ-2ⁿ=992，
令2ⁿ=k，则k²-k-992=0，
∴k=32，∴n=5，
∵T_r+1=C₅^r(5x

1

2

)5−r(−x

1

3

)r
=（-1）^r•C₅^r•5^5-r•x

15−r

6

，
令

15−r

6

=2，得r=3，
∴x²项系数为（-1）³C₅³•5²=-250．
故选项为B

利用赋值法求出展开式的各项系数和，据展开式的二项式系数和为2ⁿ，列出方程求出n；利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x²项的系数．

本题考点：二项式系数的性质；二项式定理．

考点点评：本题考查利用赋值法求展开式的各项系数和；二项展开式的二项式系数的性质；利用二项展开式的通项公式求展开式的特定项．

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