已知a，b，c为正整数，且3a+b3b+c为有理数，证明a2+b2+c2a+b+c为整数．

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已知a，b，c为正整数，且3a+b3b+c为有理数，证明a2+b2+c2a+b+c为整数．

2022-10-17 14:17:22 14次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知a，b，c为正整数，且
3
a+b
3
b+c
为有理数，证明
a2+b2+c2
a+b+c
为整数．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

证明：因为

3

是无理数，则

3

b-c≠0，
而

3

a+b

3

b+c

=

(

3

a+b)(

3

b-c)

3b2-c2

=

3ab-bc+

3

(b2-ac)

3b2-c2

为有理数，
所以b²-ac=0，
于是a²+b²+c²=（a+b+c）²-2（ab+bc+ac）=（a+b+c）²-2（ab+bc+b²）=（a+b+c）²-2b（a+c+b）=（a+b+c）（a-b+c），
因此，

a2+b2+c2

a+b+c

=a-b+c为整数．

先根据

3

是无理数判断出

3

b−c≠0，再把

3

a+b

3

b+c

分母有理化，根据a，b，c为正整数可知b²-ac=0，再把a²+b²+c²化为几个因式积的形式，消去所求代数式的分母，从而所求问题得以证明．

本题考点：数的整除性．

考点点评：本题考查的是数的整除性问题，解答此题的关键是把

3

a+b

3

b+c

分母有理化，此题有一定的难度．

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