已知OA和OB是圆O的两条半径,且OA⊥OB,弦AD交OB于P,过点D的切线交OB的延长线于C,若PD=DC,则∠A=

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已知OA和OB是圆O的两条半径,且OA⊥OB,弦AD交OB于P,过点D的切线交OB的延长线于C,若PD=DC,则∠A=

2022-10-16 14:57:44 20次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知OA和OB是圆O的两条半径,且OA⊥OB,弦AD交OB于P,过点D的切线交OB的延长线于C,若PD=DC,则∠A=

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

延长AO交⊙O于E,连结DO、DE.
∵PD＝DC,∴∠C＝∠CPD,∴∠CDP＝180°－2∠C.
∵DC切⊙O于D,∴∠CDO＝90°,∴∠CDP＋∠ODA＝90°,∴180°－2∠C＋∠OCA＝90°,
∴2∠C－∠OCA＝90°.
显然有：AO＝DO,∴∠OCA＝∠A,∴2∠C－∠A＝90°.
∵AE是⊙O的直径,∴AD⊥DE、又PO⊥EO,∴E、O、P、D共圆,∴∠CPD＝∠E.
由∠C＝∠CPD、∠CPD＝∠E,得：∠C＝∠E.
又DO＝EO,∴∠E＝∠ODE,∴∠C＝∠ODE,而∠ODE＋∠ODA＝90°,
∴∠C＋∠A＝90°,∴2∠C＋2∠A＝180°.
联立：2∠C－∠A＝90°、2∠C＋2∠A＝180°,消去∠C,得：3∠A＝90°,∴∠A＝30°.

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