微分方程xy′+2y=xlnx满足y(1)=-19的解为 ___ ．

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微分方程xy′+2y=xlnx满足y(1)=-19的解为 ___ ．

2022-10-14 19:01:03 14次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

微分方程xy′+2y=xlnx满足y(1)=-
1
9
的解为 ___ ．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

因为一阶线性微分方程 y′+P（x）y=Q（x）的通解公式为
y=e^{-∫P（x）dx}（∫Q（x）e^{∫P（x）dx}dx+C），
且原方程等价为 y′+

2

x

y=lnx，
所以原方程的通解为
y=e-∫

2

x

dx(∫lnxe∫

2

x

dx+C)
=

1

x2

（∫x²lnxdx+C）
=

1

x2

(

1

3

x3lnx-

1

3

∫x3(lnx)′dx+C)
=

1

x2

(

1

3

x3lnx-

1

3

∫x2dx+C)
=

1

3

xlnx-

1

9

x+

C

x2

．
由y(1) = -

1

9

得，C=0
故所求解为y=

1

3

xlnx-

1

9

x．

先套用一阶线性微分方程的通解公式写出微分方程的通解，再由初始条件确定任意常数即可．

本题考点：一阶线性微分方程的求解．

考点点评：本题难度不大，但需要熟记一阶线性微分方程的通解公式．

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