已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是12，且α=a+1a，β=b+1b，求α+β的最小值．

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已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是12，且α=a+1a，β=b+1b，求α+β的最小值．

2022-10-06 17:05:52 21次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是
1
2
，且α=a+
1
a
，β=b+
1
b
，求α+β的最小值．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

由a，b的等差中项是

1

2

得，a+b=1，
∵a＞0，b＞0，
∴α+β=a+b+

1

a

+

1

b

=1+

a+b

a

+

a+b

b

=3+

b

a

+

a

b

≥3+2=5，当且仅当a=b时取等号，
则α+β的最小值是5．

根据等差中项的性质得a+b=1，再把此式和条件代入“α+β”进行整理，根据条件和式子的特点利用基本不等式求出最小值．

本题考点：等差数列的性质．

考点点评：本题考查了等差中项的性质和基本不等式求最值的综合应用，关键是化简过程中的“1”代换问题，凑出积为定值．

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