设数列｛an｝的前n项和为Sn=-n²,数列｛bn｝满足：b1=2,b(n+1)=3bn-t(n-1),已知a

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设数列｛an｝的前n项和为Sn=-n²,数列｛bn｝满足：b1=2,b(n+1)=3bn-t(n-1),已知a

2022-10-09 18:54:57 13次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

设数列｛an｝的前n项和为Sn=-n²,数列｛bn｝满足：b1=2,b(n+1)=3bn-t(n-1),已知a(n+1)+b(n+1)=3(an+bn)对任意n属于自然数集都成立.设数列｛an²+anbn｝的前n项和为Tn,问是否存在互不相等的正整数m,k,r,使得m,k,r成等差数列,且Tm+1,Tk+1,Tr+1成等比数列?若存在,求出m,k,r；若不存在,说明理由.

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

1、
n=1时,a1=S1=-1²=-1
n≥2时,Sn=-n²+(n-1)²=-2n+1
n=1时,a1=-2+1=-1,同样满足
数列{an}的通项公式为an=-2n+1
a(n+1)+b(n+1)=3(an+bn)
-2(n+1)+1+b(n+1)=3(-2n+1+bn)
b(n+1)=3bn-4n+4=3bn-4(n-1)
又b(n+1)=3bn-t(n-1)
t=4
2、
a(n+1)+b(n+1)=3(an+bn)
[a(n+1)+b(n+1)]/(an+bn)=3,为定值.
a1+b1=-1+2=1
数列{an+bn}是以1为首项,3为公比的等比数列.
an+bn=3^(n-1)
an²+anbn=an(an+bn)=(1-2n)×3^(n-1)=3^(n-1)-2n×3^(n-1)
Tn=3^0+3^1+...+3^(n-1) -2[1×3^0+2×3^1+...+n×3^(n-1)]
令Cn=1×3^0+2×3^1+...+n×3^(n-1)
则3Cn=1×3^1+2×3^2+...+(n-1)×3^(n-1)+n×3ⁿ
Cn-3Cn=-2Cn=3^0+3^1+...+3^(n-1) -n×3ⁿ
Tn=2×[3^0+3^1+...+3^(n-1)]=3ⁿ-1
m,k,r成等差数列,设m=k-d,则r=k+d
T(m+1)=3^(k-d+1) -1 T(k+1)=3^(k+1) -1 T(r+1)=3^(k+d+1) -1
若存在m,k,r满足T(m+1),T(k+1),T(r+1)成等比数列,则
T(k+1)²=T(m+1)×T(r+1)
[3^(k+1)-1]²=[3^(k-d+1)-1][3^(k+d+1)-1]
整理,得
3^d +1/3^d =2
3^d=1 d=0
m=k-d=k-0=k r=k+d=k+0=k m=k=r,与已知不符.
综上,不存在满足题意的m、k、r.

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