王老师
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以前学的数学知识有点忘了..下面给出一个证明,不一定正确,但是如果前提成立的话,应该是正确的.
这个假设前提是：f(x)是一般的一元n次多项式,一元是显然的,n次这里指的是多项式的次数是有限的整数.
证明如下：
先任意取点x1,x2（x1首先证明一个引理：在一个相同的区间A内,f(x)不可能存在两种表现形式.证明是很简单的,假设存在两种表现形式：E1和E2,那么g(x)=E1-E2也是多项式,同时对任意x属于A,有g(x)=0.然而已知的是多项式的根是有限个的,所以这是不可能的.
回到正题,反证法假设A1和A2中,f(x)的表现形式不同.那么取x1和x2的中点x3,存在x3的领域A3,A3中f是多项式.那么这个多项式的表现形式一定与A1和A2中某一个的多项式的表现形式不同.不妨设与A1中不同,那么再取x1和x3中点x4,循环下去,得到点列{xn},显然xn是收敛的,这样取下去一定趋近一个极限x0.那么对于x0,存在一个领域A0,在该领域内f(x)是多项式.然而n足够大时,这个领域一定包含某个xn和xn+1,由于xn的领域An和xn+1的领域An+1中多项式不同,所以A0中多项式一定与这两个的某一个不同,不妨设与An不同,而An与A0是相交的,由引理可知在交集中f(x)有两种表现形式,这是矛盾的.
所以对于任意x,其领域内f(x)的表现形式是一样的.所以,f(x)是多项式.
