已知函数f（x）=log3x+2 （x∈[1，9]），则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值是（　　）A. 13B. 16C. 18D. 22

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已知函数f（x）=log3x+2 （x∈[1，9]），则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值是（　　）A. 13B. 16C. 18D. 22

2022-10-08 16:03:55 13次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知函数f（x）=log₃x+2 （x∈[1，9]），则函数y=[f（x）]²+f（x²）的最大值是（　　）
A. 13
B. 16
C. 18
D. 22

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

函数y=[f（x）]²+f（x²）的定义域为{x|1≤x≤9且1≤x²≤9}=[1，3]
且y=[f（x）]²+f（x²）=（log₃x+2）²+log₃（x²）+2
=（log₃x）²+6log₃x+6
设t=log₃x，∵x∈[1，3]，∴t∈[0，1]
∴y=t²+6t+6=（t+3）²-3在[0，1]上单调递增
∴y≤1+6+6=13
故选 A

先求函数的定义域，要使函数有意义需1≤x≤9且1≤x²≤9，解得x∈[1，3]，在将所求函数展开为关于整体log₃x的函数，利用换元法，将函数转化为二次函数求最值问题，再利用配方法求二次函数最大值即可

本题考点：对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评：本题考查了复合函数定义域的求法，换元法求函数的最值，对数函数和二次函数的值域的求法，转化化归的思想方法，本题易忘记求定义域而使得最值求错

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