证明：当x＞0时，ln（1+x）＜x-12x2+13x3．

2022-10-08 08:40:40 16次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

王老师

回答题目：2621条

【解法1】利用函数单调性进行证明．
令F（x）=ln（1+x）-（x-

x2+

x3），则F（x）在[0，+∞）上连续可导．
因为F′（x）=

1+x

-（1-x+x²）=

1−(1+x3)

1+x

＜0，
所以F（x）在（0，+∞）上严格单调递减，
从而当x＞0时，F（x）＜F（0），即：
ln（1+x）＜x-

x2+

x3．
【解法2】利用泰勒公式进行证明．
对于任意x＞0，利用泰勒公式可得，∃ξ∈（0，x），使得
ln（1+x）=x-

x2+

x3-

ξ4，
从而，ln（1+x）＜x-

x2+

x3．

令F（x）=ln（1+x）-（x-12x2+13x3），则F（0）=0，故仅需证明F（x）在（0，+∞）上单调减即可；本题也可以利用泰勒公式进行证明．

本题考点：利用单调性证明函数不等式；利用泰勒公式进行证明．

考点点评：本题考查了函数单调性的判断、利用函数单调性证明不等式以及利用泰勒公式证明不等式的方法；题目具有一定的综合性，难度系数适中．

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