题目内容：

如图所示，点A为半圆O直径MN所在直线上一点，射线AB垂直于MN，垂足为A，半圆绕M点顺时针转动，转过的角度记作a；设半圆O的半径为R，AM的长度为m，回答下列问题：

探究：（1）若R=2，m=1，如图1，当旋转30°时，圆心O′到射线AB的距离是　   　；如图2，当a=　   　°时，半圆O与射线AB相切；

（2）如图3，在（1）的条件下，为了使得半圆O转动30°即能与射线AB相切，在保持线段AM长度不变的条件下，调整半径R的大小，请你求出满足要求的R，并说明理由．

（3）发现：（3）如图4，在0°＜α＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆O与射线AB能够相切，小明探究了cosα与R、m两个量的关系，请你帮助他直接写出这个关系；

cosα=　   　（用含有R、m的代数式表示）

拓展：（4）如图5，若R=m，当半圆弧线与射线AB有两个交点时，α的取值范围是　   　，并求出在这个变化过程中阴影部分（弓形）面积的最大值（用m表示）