王老师
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浅谈三角形的费马点
法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题,近几年仍有不少文献对此介绍．
本文试以课本上的习题、例题为素材,根据初中学生的认知水平,针对这个问题拟定一则思维训练材料,引导学生通过自己的思维和学习,初步了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用．
1．三角形的费马点
已知：如图1,ΔABD、ΔAEC都是等边三角形．求证：BE=DC．
这个题目证明比较容易,下面提几个问题供同学们思考．
思考1 在ABC的BC边再作等边三角形BCF,并连接AF如图2,可得到什么结论?是否有
(1)BE=CD=AF?
(2)BE、CD、AF三线交于一点O?
(3)∠AOB=∠BOC=∠COA=120°?
思考2 如将原题的图1改成图3,并连接DE,还能得到什么结论?
(1)原题的结论仍然成立：BE=CD．
(2)若∠ADC=120°,则D点在等边ΔAEC的外接圆上．D、B、E共线,由BE=CD有：AD＋CD=DE；若∠ADC≠120°,易证AD＋DC＞DE．得到下列命题．
定理1 等边三角形外接圆上一点,到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点,到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．
思考3 根据上述定理,在图2中还有
(1)OA＋OB＋OC=AF．
(2)在ΔABC内另取一点O,总有
O′A＋O′B＋O′C＞AF,
即 OA＋OB＋OC＜O′A＋O′B＋O′C．
(3)点O是ΔABC所在平面上到三个顶点距离之和为最小的点．
定理2 三角形每一内角都小于120°时,在三角形内必存在一点,它对三条边所张的角都是120°,该点到三顶点距离和达到最小,称为“费马点”,当三角形有一内角不小于120°时,此角的顶点即为费马点．
2．水管线路最短问题
如图4,要在河边修建一个水泵站,分别向张村、李庄供水,修在河边什么地方,可使所用水管最短?
这是一个很有意义的应用题,在公路,自来水或煤气管道线路设计等方面都有一定价值．假如不是由水泵站C直接向A、B两地供水,那么本例用“对称点”方法所确定的线路CA＋CB并不是最短线路．易知当A、B、C三点所确定的三角形各角都小于120°时,在该三角内必存在费马点O有OA＋OB＋OC＜CA＋CB,可见水管总长还可以更小一些．于是水管线路最短问题即为A、B两点在直线L同侧,点C为L上一个动点的费尔马问题,下面分两类情况讨论这个问题．
(1)AB与L的夹角小于30”．
如图5,以AB为一边作正三角形ABM,并作ΔABM的外接圆．
当所作外接圆与直线L相离或相切时,从M点作直线L的垂线,交圆于O点,垂足为C．C即为水泵站位置,先把水引到O点,再从O点分别向A、B两地供水,此时点O 更短,即在L上另选一点都不会改进．
优的了,因为∠ABC≥120°,费马点就是点C也就是在C建水泵站直接向A、B两地供水．如果水泵站C选在P点的左侧,如图7,此时△ABC的费马点O必在在点P上,故L上点P的左侧不会有更好的点可选,同理Q点的右边也找不出更好的点．
(2)AB与L的夹角不小于30°．
如图8,若A点离直线L较近,作AC⊥L交于C,点C为水泵站位置,因为∠CAB≥120°,点A即为ΔABC的费马点,此时水管总长为CA＋AB．在L上任意另取一点都不会再有改进．显然在点C的左侧取一点C′时,ΔABC′的费马点仍在A点,易知 弧上(因为ΔABM的外接圆不会与L相交或相切),故必有；O′A+O′B+O′C=O′M+O′C＞CA+AM=CA＋AB．
综上所述水管的最短线路有三种分别为“Y”字型“V”字型及“厂”字型．
3．两个应用题
文(4)谈到95年全国高考命题组,对应用题选编时曾考虑过如下两个题目：
(1)一条河宽1km,两岸各有一座城市A与B,A与B的直线距离是4km,今须铺设一条电缆连A与B,已知地下电缆修建费用为2万元/km,水下电缆为4万元/km,假定河两岸是直线,问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最小?
(2)有四个点位于一个正方形的四个顶点上,须用线将它们连成一个网络(即从任何一点出发,可沿此网络中的线达到别的点),问此网络应以什么方式连接这四个点,方可使所用的线总长最小?
汤建新,赵汉群曾在《中学数学》(湖北)1997．10月刊上发文(5)对(1)题作了详细讨论,并给出一个很巧妙的解答,使初中学生可以理解．用费马点也可这样去解,因为水底电缆每千米修建费为地下的两倍,如图9,实际上即为在河岸直线L上找一点C使AC＋2BC最小,取B点关于L的对称点B′,因为BC=B′C故所求点C(电缆的下水点)即为ΔABB′的费马点,取∠BCA=120°即得．
关于(2)题如图10,易知不论如何连接,所求的网络必通过正方形中心O点,问题转化为ΔABO与ΔDCO的费马问题,也可以转化为问题(1),详细解答请同学们考虑．
