已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-23，Sn+1Sn=an-2（n≥2，n∈N）（1）求S2，S3，S4的值；（2）猜想Sn的表达式；并用数学归纳法加以证明．

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已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-23，Sn+1Sn=an-2（n≥2，n∈N）（1）求S2，S3，S4的值；（2）猜想Sn的表达式；并用数学归纳法加以证明．

2022-04-01 13:53:16 128次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-
2
3
，S_n+
1
Sn
=a_n-2（n≥2，n∈N）
（1）求S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表达式；并用数学归纳法加以证明．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（1）S₁=a₁=-

，∵S_n+

=a_n-2（n≥2，n∈N），令n=2可得
，S₂+

=a₂-2=S₂-a₁-2，∴

-2，∴S₂=-

．
同理可求得 S₃=-

，S₄=-

．
（2）猜想S_n=-

n+1

n+2

，n∈N₊，下边用数学归纳法证明：
①当n=2时，S₂=a₁+a₂=-

，猜想成立．
②假设当n=k时猜想成立，即S_K=-

K+1

K+2

．
则当n=k+1时，∵S_n+

=a_n-2，∴SK+1+

SK+1

＝ak+1−2，
∴SK+1+

SK+1

＝SK+1−SK−2，∴

SK+1

K+1

K+2

-2=

−K−3

K+2

，
∴S_K+1=-

K+2

K+3

，∴当n=k+1时，猜想仍然成立．
综合①②可得，猜想对任意正整数都成立，即 S_n=-

n+1

n+2

，n∈N₊成立．

（1）S1=a1，由S2+1S2=a2-2=S2-a1 求得S2，同理求得 S3，S4．（2）猜想Sn =-n+1n+2，n∈N+，用数学归纳法证明，检验n=1时，猜想成立；假设SK=-K+1K+2，则当n=k+1时，由条件可得，SK+1+1SK+1＝SK+1−SK−2，解出 SK+1=-K+2K+3，故n=k+1时，猜想仍然成立．

本题考点：数学归纳法；归纳推理．

考点点评：本题考查归纳推理，用数学归纳法证明等式，证明当n=k+1时，Sn =-n+1n+2，n∈N+，是解题的难点．

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