已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E.若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等

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已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E.若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等

2022-04-02 12:04:13 54次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知△ABC为锐角三角形，⊙O经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E.若⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，则⊙O一定经过△ABC的（　　）
A. 内心
B. 外心
C. 重心
D. 垂心

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

如图，连接BE．
∵△ABC为锐角三角形，
∴∠BAC，∠ABE均为锐角．

∵⊙O的半径与△ADE的外接圆的半径相等，且DE为两圆的公共弦，
∴∠BAC=∠ABE．
∴∠BEC=∠BAC+∠ABE=2∠BAC．
若△ABC的外心为O₁，则∠BO₁C=2∠BAC，
∴⊙O一定过△ABC的外心．
故选B．

连接BE．根据两个圆的半径相等和圆周角定理可以证明∠BAC=∠ABE，再结合三角形的外角的性质可以证明∠BEC=2∠BAC，从而肯定该圆一定过三角形的外心．

本题考点：三角形的外接圆与外心．

考点点评：此题综合运用了圆周角定理、三角形的外角的性质．

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