如果关于实数x的方程ax2+1x＝3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为（）A. {a|-2≤a≤2}B

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如果关于实数x的方程ax2+1x＝3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为（）A. {a|-2≤a≤2}B

2022-07-31 07:13:49 12次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

如果关于实数x的方程ax2+
1
x
＝3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为（　　）
A. {a|-2≤a≤2}
B. {a|a≤0或a=2}
C. {a|a≥2或a＜-2}
D. {a|a≥0或a=-2}

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

关于实数x的方程ax2+

＝3x的所有解中，仅有一个正数解⇔a＝

−

有且仅有一个正实数解．
令

＝t(t≠0)，t的符号与x的符号一致，则a=-t³+3t有且仅有一个正实数解，
令f（t）=-t³+3t（t≠0），

f′（t）=-3t²+3，由f′（t）=0得t=1或t=-1．
又t∈（-1，1）时，f′（t）＞0；t∈（-∞，-1），（1，+∞）时，
f′（t）＜0．所以[f（t）]_极大值=f（1）=2．
又t→-∞，f（t）→+∞；t→+∞，f（t）→-∞．
结合三次函数图象即可．
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，0]∪{2}．
故选B．

原条件⇔a＝

−

有且仅有一个正实数解，令

＝t(t≠0)，t的符号与x的符号一致，则a=-t³+3t有且仅有一个正实数解，然后通过导数研究函数的单调性和极值，画出函数图象，结合图象可求出a的取值范围．

本题考点：根的存在性及根的个数判断．

考点点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断，以及三次函数的性质，同时考查了数形结合与函数方程的思想，属于中档题．

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如果关于实数x的方程ax2+
1
x
＝3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为（　　）
A. {a|-2≤a≤2}
B. {a|a≤0或a=2}
C. {a|a≥2或a＜-2}
D. {a|a≥0或a=-2}

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如果关于实数x的方程ax2+1x＝3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为（ ）A. {a|-2≤a≤2}B. {a|a≤0或a=2}C. {a|a≥2或a＜-2}D. {a|a≥0或a=-2}

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如果关于实数x的方程ax2+
1
x
＝3x的所有解中，仅有一个正数解，那么实数a的取值范围为（　　）
A. {a|-2≤a≤2}
B. {a|a≤0或a=2}
C. {a|a≥2或a＜-2}
D. {a|a≥0或a=-2}