王老师
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答案是双曲线7x^2 - y^2 = 14,以及整个y轴.
如果该动圆和两个圆都外切,由于这两个圆关于y轴对称,所以很容易验证动圆圆心就在y轴上.（两圆外切,圆心距离=半径和,内切,圆心距离=半径差）
动圆和两个圆都内切时,如果它把两个圆都含进去,那答案也是y轴,又由于它不可能只含一个圆且和两个圆都内切（当然更不可能同时被两个圆含进去内切）,所以最终我们只需要考虑和一个圆外切和另一个圆内切的情况.称圆C1为左圆,圆C2为右圆,不妨先考虑动圆和左圆外切、和右圆内切的情况.设动圆圆心M(x,y),且其半径为r,由于它与左圆外切,故：
sqrt ((x+4)^2 + y^2) = r + sqrt(2) （1） (sqrt为开方,下同)
又它与右圆内切,故：
sqrt ((x-4)^2 + y^2) = r - sqrt(2) （2）
(注意到和右圆内切必然是把右圆含进去,否则就不可能与左圆外切)
两式相减,消去r,再把第一式的左边移动到等式右边,得到：
- sqrt ((x-4)^2 + y^2) = 2sqrt(2) - sqrt ((x+4)^2 + y^2),
两边平方,得到：
(x-4)^2 + y^2 = 8 - 4sqrt(2) sqrt ((x+4)^2 + y^2) + (x+4)^2 + y^2,（3）
展开除根式项外的项,整理为：
sqrt(2) sqrt ((x+4)^2 + y^2) = 2(1+2x),
两边平方,再展开整理,得到：
7x^2 - y^2 = 14.
最后就是考虑动圆和左圆内切、和右圆外切的情况,其实答案是一样的,因为此时无非就是把等式（1）和（2）的右边加号变减号、减号变加号,于是导致后面（3）式右边的减号变成加号,但是最后一步还需要对（3）移项后两边平方,减号加号就无所谓了.所以答案还是一样.
答案：
x=0和7x^2 - y^2 = 14.圆心轨迹是这两条方程的并集.
