如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．（Ⅰ）当C

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如图，已知正三棱柱ABC=A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．（Ⅰ）当C

2022-06-01 03:24:14 27次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

如图，已知正三棱柱ABC=A₁B₁C₁的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC₁上，且不与点C重合．

（Ⅰ）当CF=1时，求证：EF⊥A₁C；
（Ⅱ）设二面角C-AF-E的大小为θ，求tanθ的最小值．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（I）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC₁，由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A₁C
∴EN⊥侧面A₁C
NF为EF在侧面A₁C内的射影
则由

CC1

＝

，得NF∥AC₁，又AC₁⊥A₁C，故NF⊥A₁C
由三垂线定理可知EF⊥A₁C
（II）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME
由（I）可知EN⊥侧面A₁C，根据三垂线定理得EM⊥AF
∴∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ
设∠FAC=α则0°＜α≤45°，
在直角三角形CNE中，NE=

，在直角三角形AMN中，MN=3sinα
故tanθ=

3sinα

，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤

故当α=45°时，tanθ达到最小值，
tanθ=

，此时F与C₁重合．

（I）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC₁，根据面面垂直的性质可知NF为EF在侧面A₁C内的射影，根据

CC1

＝

，得NF∥AC₁，又AC₁⊥A₁C，故NF⊥A₁C，由三垂线定理可得结论；
（II）连接AF，过N作NM⊥AF与M，连接ME根据三垂线定理得EM⊥AF，则∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ，在直角三角形CNE中，求出NE，在直角三角形AMN中，求出MN，故tanθ=

3sinα

，根据α的范围可求出最小值．

本题考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．

考点点评：本题主要考查了空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查了空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．

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