以三角形的三边做等边三角形,顶点分别为A` B` C`,求证AA`BB`CC`三线共点,用塞瓦定理（如何证向外做三个相似等腰三角形）

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以三角形的三边做等边三角形,顶点分别为A` B` C`,求证AA`BB`CC`三线共点,用塞瓦定理（如何证向外做三个相似等腰三角形）

2022-06-01 01:09:02 18次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

以三角形的三边做等边三角形,顶点分别为A` B` C`,求证AA`BB`CC`三线共点,用塞瓦定理
（如何证向外做三个相似等腰三角形）

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

设AA'交BC于点D,BB'交AC于点E,CC'交AB于点F
则即要证AD、BE、CF三线共点
由塞瓦定理知,即是要证：(CD/BD)•(AE/CE)•(BF/AF)=1
设三边长分别为a、b、c
由于CD/BD=S(△ACA')/S(△ABA')=(ab•sin∠ACA')/(ac•sin∠ABA')=b•sin(C+60°)/c•sin(B+60°)
同理,AE/CE=c•sin(A+60°)/a•sin(C+60°)
BF/AF=a•sin(B+60°)/b•sin(A+60°)
所以(CD/BD)•(AE/CE)•(BF/AF)=1
故AD、BE、CF三线共点,证毕.
如果是向外做相似等腰三角形,证法与上相同
只是不是+60°,而是加等腰三角形的底角.

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