垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线f（x）=x3+3x2-1相切的直线l与曲线f（x）及y轴所围成的图形的面积是______．

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垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线f（x）=x3+3x2-1相切的直线l与曲线f（x）及y轴所围成的图形的面积是______．

2022-05-23 23:46:25 21次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线f（x）=x³+3x²-1相切的直线l与曲线f（x）及y轴所围成的图形的面积是______．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

设直线l的方程为y=-3x+m，切点为（n，n³+3n²-1），
则由题意可得3n²+6n=-3，∴n=-1，
故切点为（-1，1），代入切线方程 y=-3x+m可得m=-2，
直线l的方程为y=-3x-2，
∴直线l与曲线f（x）及y轴所围成的图形的面积是

∫

0

−1

[(x3+3x2−1)−(−3x−2)]dx=

∫

0

−1

(x+1)3dx=

1

4

(x+1

)4|

0

−1

=

1

4

故答案为：

1

4

先求直线l的方程，再求直线l与曲线f（x）及y轴所围成的图形的面积．

本题考点：定积分．

考点点评：本题考查定积分，考查导数知识的运用，解题的关键是确定切线方程，正确表示图形面积，属于中档题．

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