在平面直角坐标系xoy中,经过F(1.0)点且与直线X=-1相切的动圆的圆心轨迹为曲线C1求曲线C的方程2是否存在正数m

首页 > 中学数学试题 > 题目详情

在平面直角坐标系xoy中,经过F(1.0)点且与直线X=-1相切的动圆的圆心轨迹为曲线C1求曲线C的方程2是否存在正数m

2022-05-23 22:53:18 23次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

在平面直角坐标系xoy中,经过F(1.0)点且与直线X=-1相切的动圆的圆心轨迹为曲线C
1求曲线C的方程2是否存在正数m,对于过点（m,0)与曲线C有两个不同交点A,B的任意一条直线都有FA·FB＜0成立,求M的取值范围

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

1、设动圆圆心为C(x,y),半径为r
动圆与直线相切,则有 r=|x+1|
动圆过点F(1,0),则有 r=√[(x-1)^2+y^2]
即有 (x+1)^2=(x-1)^2+y^2
整理得 y^2=4x
即曲线C的方程为抛物线y^2=4x
2、FA, FB是向量吧,设交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则有
向量FA=(x1-1,y1), 向量FB=(x2-1,y2)
FA*FB=[(x1-1)(x2-1)]+[y1y2]=x1x2+y1y2-(x1+x2)+1 (1)
设过点M(m,0)的直线为 x=ky+m
代入抛物线得 y^2=4(ky+m) => y^2-4ky-4m=0
由韦达定理可得 y1+y2=-4k, y1y2=-4m; x1+x2=k(y1+y2)+2m=-4k^2+2m,
x1x2=(ky1+m)(ky2+m)=k^2y1y2+k(y1+y2)+m^2=-4k^2m-4k^2+m^2
代入(1)式,可得
FA*FB=(-4k^2m-4k^2+m^2)-4m-(-4k^2+2m)+1=-4k^2m-6m+m^2+1
设以k为变量的函数f(k)=-4mk^2+m^2-6m+1,可见其为抛物线
有两个不同交点的任意直线都有FA*FB<0,则
对于任意k,都有f(k)<0,
因m>0,抛物线开口向下,只需保证抛物线与x轴没有交点即可
∴△=0+4m*(m^2-6m+1)<0,即m^2-6m+1<0
易解得 3-2√2

本题链接：

大家查题吧

首页 > 中学数学试题 > 题目详情