已知实数xy满足(x-2)&#178;+(y-2)&#178;=1 求y/x的最值求（y+x)的最值

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已知实数xy满足(x-2)²+(y-2)²=1 求y/x的最值求（y+x)的最值

2022-06-14 17:22:14 18次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知实数xy满足(x-2)²+(y-2)²=1 求y/x的最值求（y+x)的最值

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

用数形结合的方法来做.
(x-2)²+(y-2)²=1可以看做是以(2,2)为圆心,1为半径的一个圆.
y/x可以看做是这个圆上一点到原点连线的斜率.
要求y/x的最值,就是求斜率的最值,应当在相切的时候取得.
设直线方程为y=kx,联立
(x-2)²+(kx-2)²=1
(1+k²)x²-4(1+k)x+7=0
相切时,只有一个公共点,故只有一个根,判别式等于0
即△=16(1+k)²-28(1+k²)
=-12k²+32k-12=0
3k²-8k+3=0
k=(8±√28)/6=(4±√7)/3
所以y/x=k的最大值是(4+√7)/3 ,最小值是(4-√7)/3
设y+x=a最值同样是在直线y+x=a与圆相切时取得.
y=a-x
(x-2)²+(a-x-2)²=1
2x²-2ax+4+(a-2)²=1
2x²-2ax+a²-4a+7=0
△=4a²-8(a²-4a+7)
=-4a²+32a-56
=-4(a²-8a+14)=0
a=(8±√8)/2=4±√2
故最大值为y+x=4+√2,最小值为4-√2

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