王老师
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这个问题有点复杂,真的一言难尽.
自变量有时就为X ,即f(x).当自变量变为含X的一个式子φ(x)后,即f(x)变为f[φ(x)].
从本质上讲,这是复合函数的定义域和值域问题.
1.当φ(x)是一次函数,且φ(x)＝x＋b,这时f[φ(x)]＝f(x+b).
我们可以用左右平移的图象变换,来解释它们定义域和值域的变换：
左右平移可能改变定义域,但绝不改变值域.
如f(x)=1/x,定义域x≠0,值域y≠0
f(x-1)=1/(x-1),定义域x≠1,值域y≠0
2.当φ(x)是一次函数,且φ(x)＝2x＋b,这时f[φ(x)]＝f(2x+b)
情况比较复杂.
我们不能只用左右平移的图象变换,来解释它们定义域和值域的变换了.
如f(x)=1/x,定义域x≠0,值域y≠0
f(2x-1)=1/(2x-1),定义域x≠1/2,值域y≠0
又如f(x)=sinx,x是锐角,定义域x∈(0,π/2),值域(0,1).
f(2x-π/2)=sin(2x-π/2)=-sin(π/2-2x)=-cos2x,定义域(π/4,π/2)值域(0,1)
3.当φ(x)是对数函数,且φ(x)＝lnx,这时f[φ(x)]＝f(lnx)
情况更复杂.
如f(x)=e^x,定义域R,值域y>0
f(lnx)=e^(lnx)=x,定义域x>0,值域y>0.
4.不过,有一般规律：
已知f(x)的定义域（a,b）,求f[φ(x)]的定义域
就是从不等式a
