已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①，a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)=-3；②求a+b+c的值．

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已知a，b，c为实数，且满足下式：a2+b2+c2=1，①，a(1b+1c)+b(1c+1a)+c(1a+1b)=-3；②求a+b+c的值．

2022-01-24 17:31:06 59次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知a，b，c为实数，且满足下式：a²+b²+c²=1，①，a(
1
b
+
1
c
)+b(
1
c
+
1
a
)+c(
1
a
+
1
b
)=-3；②求a+b+c的值．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

将①式变形如下，
a（

1

b

+

1

c

）+1+b（

1

c

+

1

a

）+1+c（

1

a

+

1

b

）+1=0，
即a（

1

a

+

1

b

+

1

c

）+b（

1

a

+

1

b

+

1

c

）+c（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=0，
∴（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=0，
∴（a+b+c）•

bc+ac+ab

abc

=0，
∴a+b+c=0或bc+ac+ab=0．
若bc+ac+ab=0，则
（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（bc+ac+ab）=a²+b²+c²=1，
∴a+b+c=±1．
∴a+b+c的值为0，1，-1．

先对①式进行变形，主要是给等式左边每一大项一个1，再整理成两式积等于0的形式，讨论们每个式子等于0的情况，最后求出a+b+c的所有值．

本题考点：["分式的化简求值"]

考点点评：将3拆成1+1+1，最终都是将①式变形为两个式子之积等于零的形式，再利用两数相乘，积为0，讨论两数的值的情况，并会利用公式（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（bc+ac+ab）及开方运算．

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