三次函数f（x）=x3-3bx+3b在[1，2]内恒为正值，求b的取值范围．

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三次函数f（x）=x3-3bx+3b在[1，2]内恒为正值，求b的取值范围．

2022-06-06 00:00:29 20次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

三次函数f（x）=x³-3bx+3b在[1，2]内恒为正值，求b的取值范围．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

由f（x）＞0在[1，2]内恒成立，即3b（x-1）＜x3．①当x=1时，上式对于b∈R都成立；②当1＜x≤2时，f（x）＞0在[1，2]内恒成立⇔3b＜x3x−1恒成立，x∈（1，2]⇔3b＜[x3x−1]min，x∈（1，2]．令g（x）=x3x−1，x∈（...

由f（x）＞0在[1，2]内恒成立，即3b（x-1）＜x³．对x分类讨论：①当x=1时，上式对于b∈R都成立；②当1＜x≤2时，f（x）＞0在[1，2]内恒成立⇔3b＜

x3

x−1

恒成立⇔3b＜[

x3

x−1

]min，x∈（1，2]，利用导数求出其最小值即可．

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值．

考点点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、分类讨论的思想方法、恒成立问题的等价转化是解题的关键．

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