设数列{an}的前n项和Sn=n2，数列{bn}满足bn=anan+m(m∈N*)．（Ⅰ）若b1，b2，b8成等比数列，

2022-09-18 21:23:47 5次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

王老师

回答题目：2621条

（Ⅰ）因为S_n=n²，所以当n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1 …（3分）
又当n=1 时，a₁=S₁=1，适合上式，所以a_n=2n-1 （n∈N^* ）…（4分）
所以bn＝

2n−1

2n−1+m

则b1＝

1+m

，b2＝

3+m

，b8＝

15+m

由b₂²=b₁b₈，
得(

3+m

)2＝

1+m

15+m

解得m=0 （舍）或m=9
所以m=9 …（7分）
（Ⅱ）假设存在m
使得b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列，即2b₄=b₁+b_t，
则2×

7+m

＝

1+m

2t−1

2t−1+m

化简得t＝7+

m−5

…（12分）
所以当m-5=1，2，3，4，6，9，12，18，36 时，
分别存在t=43，25，19，16，13，11，10，9，8 适合题意，
即存在这样m，且符合题意的m 共有9个 …（14分）

（Ⅰ）先利用当n≥2 时，a_n=S_n-S_n-1求出数列{a_n} 的通项公式，代入bn＝

an+m

(m∈N*)，求出数列{b_n} 的通项公式，再结合b₁，b₂，b₈ 成等比数列即可求m 的值；
（Ⅱ）先假设存在m 使得b₁，b₄，b_t（t∈N^*，t≥5）成等差数列，即2b₄=b₁+b_t，代入整理得t＝7+

m−5

，再结合t∈N^*，t≥5即可求出符合题意的m 的个数．

本题考点：等差数列与等比数列的综合．

考点点评：本题主要考查等差数列和等比数列的综合问题．解决本题的关键在于利用已知前n项和求通项的方法求出数列{a_n} 的通项公式．

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