证明：m*n矩阵A和B等价＜＝＞r(A)=r(B).

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**证明：m*n矩阵A和B等价＜＝＞r(A)=r(B).**

2022-08-15 17:32:15 14次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

证明：m*n矩阵A和B等价＜＝＞r(A)=r(B).

优质答案解析

王老师

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设矩阵A,B等价,所以存在可逆矩阵P,Q,使得 B=PAQ
由于P可逆,因此,矩阵A与PA有相同的秩
而Q可逆,因此,矩阵PA与PAQ有相同的秩,即矩阵 A与B有相同的秩.
这就证明了：m*n矩阵A和B等价＝＞r(A)=r(B).
设 r(A)=r(B)=r
记C为如下的m*n矩阵,其左上角为一r阶单位矩阵,其它为0
Er 0
0 0.
于是存在可逆矩阵 P,Q使得 PAQ=C,
同样存在可逆矩阵 R,S使得 RBS=C.
因此 PAQ=RBS
B=R的逆*PAQ*S的逆,由于R的逆*P 与 Q*S的逆都是可逆矩阵,于是 A与B等价.
这就证明了：r(A)=r(B).＝＞矩阵A和B等价.

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