已知函数y=f（x）=x2+3x+2ax，x∈[2，+∞）（1）当a=12时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈

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已知函数y=f（x）=x2+3x+2ax，x∈[2，+∞）（1）当a=12时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意x∈

2022-08-06 20:54:09 16次反馈错误加入收藏正确率 : 100%

题目内容：

已知函数y=f（x）=
x2+3x+2a
x
，x∈[2，+∞）
（1）当a=
1
2
时，求函数f（x）的最小值；
（2）若对任意x∈[2，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

优质答案解析

王老师

回答题目：2621条

（1）当a=

1

2

时，f（x）=

x2+3x+1

x

=x+

1

x

+3，
f′（x）=1−

1

x2

=

x2−1

x2

，∵x∈[2，+∞），∴f′（x）＞0
可知y=f（x）在[2，+∞）上是增函数
∴f（x）=f（2）=2+

1

2

+3=

11

2

，
（2）由f（x）＞0，y有

x+3x+2a

x

＞0，对x∈[2，+∞）恒成立，
∴2a＞-x²-3x
令g（x）=-x²-3x，x∈[2，+∞）
∴g（x）_max=f（2）=-10
∴2a＞-10
即a＞-5，
故实数a的取值范围；（-5，+∞）

（1）当a=

1

2

时，f（x）=

x2+3x+1

x

=x+

1

x

+3，运用导数判断单调性，求最值．
（2）

x+3x+2a

x

＞0，对x∈[2，+∞）恒成立，2a＞-x²-3x，构造函数g（x）=-x²-3x，x∈[2，+∞）求解最大值，再求a的范围．

本题考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数恒成立问题．

考点点评：本题考查了均值不等式在求解函数最值中的应用，单调性定义的判断．

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